Jurgen Jost

Dieses essential ist eine kurze Einführung in die Kategorientheorie und damit in das strukturelle Denken der modernen Mathematik. Die Kategorientheorie erfasst Objekte durch ihre Relationen mit anderen Objekten der gleichen Strukturklasse. Sie kann daher Konstruktionen, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik auftreten, unter universellen Gesichtspunkten erfassen. Der Autor entwickelt die grundlegenden kategorientheoretischen Begriffe und Methoden wie Morphismen, Funktoren, Prägarben, Diagramme, Limiten und Adjunktionen und erläutert diese durch Anwendungen in verschiedenen Bereichen der modernen Mathematik.

Die Konzepte in der Algebra wie Gruppen, Ringe, Körper gewinnen ihre mathematische Bedeutung und Kraft aus der Verbindung von abstrakten Strukturen und wichtigen Beispielen. Dieses essential bietet eine kompakte Einführung in diese algebraischen Strukturen und deren Zusammenwirken beispielsweise in der Galoistheorie. Die zentralen Beispiele, also die ganzen, rationalen, reellen und p-adischen Zahlen und die symmetrischen Gruppen, motivieren und veranschaulichen die abstrakten Konzepte. Die Leser*innen gewinnen eine gute Übersicht über die strukturellen Grundlagen der Algebra und bekommen einen Ausblick auf weiterführende Themen.

Das essential führt in die wesentlichen Konzepte der modernen algebraischen Geometrie ein. Dabei werden zunächst algebraische Grundbegriffe wiederholt. Die algebraische Struktur eines kommutativen Ringes spiegelt sich in der Menge seiner Primideale wider. Diese Menge kann mit einer topologischen Struktur versehen werden; dies ist der Begriff des Spektrums, der also algebraische in topologische Daten übersetzt. Mithilfe des Begriffs der Garbe kann man aus dieser topologischen die algebraische Struktur zurückgewinnen. Dieses reichhaltige Wechselspiel wird im Begriff des Schemas erfasst. Dadurch kann man die grundlegenden Objekte der algebraischen Geometrie, Nullstellengebilde von Polynomen, algebraisch untersuchen und umgekehrt geometrische Methoden auf arithmetische Fragen anwenden.

Our aim is to introduce, explain, and discuss the fundamental problems, ideas, concepts, results, and methods of the theory of dynamical systems and to show how they can be used in speci?c examples. We do not intend to give a comprehensive overview of the present state of research in the theory of dynamical systems, nor a detailed historical account of its development.

What is the title of this book intended to signify, what connotations is the adjective “Postmodern” meant to carry? A potential reader will surely pose this question. To answer it, I should describe what distinguishes the - proach to analysis presented here from what has by its protagonists been called “Modern Analysis”. “Modern Analysis” as represented in the works of the Bourbaki group or in the textbooks by Jean Dieudonn´ e is characterized by its systematic and axiomatic treatment and by its drive towards a high level of abstraction.

Riemannian geometry is characterized, and research is oriented towards and shaped by concepts (geodesics, connections, curvature, …) and objectives, in particular to understand certain classes of (compact) Riemannian manifolds defined by curvature conditions (constant or positive or negative curvature, …). By way of contrast, geometric analysis is a perhaps somewhat less system- atic collection of techniques, for solving extremal problems naturally arising in geometry and for investigating and characterizing their solutions. It turns out that the two fields complement each other very well; geometric analysis offers tools for solving difficult problems in geometry, and Riemannian geom- etry stimulates progress in geometric analysis by setting ambitious goals.